十五年前选了一门拓扑学。上课的老师姓杜，对本科教育颇有激情，乐此不疲。有时也流露出教学之艰难的感叹，例如“我们上学的时候，最聪明的学生学数学，现在最聪明的学生都去学金融了”，或“拓扑学这么重要，怎么是选修课呢”。记得一次课上，老师讲到一个略为抽象的定理，名曰“杜老师定理”，因为这是他自己发现的。我不擅长理解抽象的东西，遇到这种情况，一般会举几个例子帮助理解。然而，我发现有一个例子出了问题，而且这个例子很简单。这通常意味着，我对概念的理解有偏差。但是差在哪呢，百思不得其解。课间询问同学，听他解释一番，仍旧不明白，只好课后请教老师了。杜老师听了这个例子，先是愣了一下，然后说下次课告诉我答案，就匆匆离开了。
几天后，杜老师在课上讲了这个例子，然后宣布，这是个反例，“杜老师定理”是错的，“让我们感谢这位同学”。这位杜老师在宣称自己的定理是错误时，没有丝毫犹豫或不快，甚至看上去有些高兴。当然，对于科学工作者来说，错误通常意味着更好的理解和进步。不过，按照我日后在工业界的经验，人们害怕错误。要么拒绝承认，要么将其源头归罪于其他人。
期末考试之前，我们请学长来指导代数拓扑的习题（很难）。学长说到期末试卷中，肯定会出一道“杜老师定理”的应用，因为之前每年都有。我意识到，每年选修拓扑学的学生，都不曾认真思考过这个定理，而只是背下来应付考试而已。（后来这门课我挂掉了，万幸拓扑学是选修课！）
| 另有一次，在量子力学课上，老师讲到对易关系（令 $\hbar = 1$）$[\hat{x}, \hat{p}] = i$。我也举了个例子：$\langle x | [\hat{x}, \hat{p}] | x \rangle = \langle x | i | x \rangle$，即 $\langle x | \hat{p} | x \rangle (x - x) = i \delta(0)$。但是左边为零，右边……真叫人头疼。课后请教老师，老爷子讲，应当考虑 $\langle x | [\hat{x}, \hat{p}] | x’ \rangle = \langle x | i | x’ \rangle$，即 $\langle x | \hat{p} | x’ \rangle (x - x’) = i \delta(x - x’)$。带入算符 $\hat{p} = -i \partial / \partial x$，就得到 |
这个关系是成立的。将其作用在一个 Schwartz 空间中的函数 $f$ 上，积分限皆为 $(-\infty, +\infty)$，左边等于 $-\int dx \delta^{(1)}(x) x f(x)$，其分部积分为 $\int dx \delta(x) (d/dx)[x f(x)] = \int dx \delta(x) f(x) + \int dx \delta(x) x f^{(1)}(x)$。第二项等于零，所以左边等于右边。只有当“作用”于某个函数时，这个等式才有意义。
回想至此，不由得好奇这个关系能不能被推广。例如，根据相同的步骤，可以得到 $(-1)^n / n! \delta^{(n)}(x) x^n = \delta(x)$。以及当 $m > n$ 时，$\delta^{(n)}(x) x^m = 0$。但如果尝试 $m < n$，情况就变得比较复杂了，无法得到简洁的关系。这时的做法通常是考虑更强的关系，例如，如果不是作用在 Schwartz 空间，而是直接积分会怎么样，也就是 $\int dx \delta^{(n)}(x) x^m$ 等于什么。根据同样的步骤，可以得到
\[\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{(-1)^n}{n!} \delta^{(n)}(x) x^m = \delta_{m, n}.\]这看上去很像 $\delta^{(n)}$ 和幂函数的某种“正交关系”。比如，一个 Schwartz 空间中的函数 $f$ 可以据此展开成
\[f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} g_n \delta^{(n)}(x),\]其中
\[g_n := \int_{-\infty}^{+\infty} dx f(x) x^n.\]这样，函数 $f$ 就被展开成“分布”的和了。同样，只有当“作用”于某个函数时，这个展开式才有意义。
这让我想到连续时马尔可夫过程中的跃迁率（transition rate），即单位时间内跃迁的概率密度。如果把这个展开式应用于跃迁率，即 $r(x, y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} g_n(y) \delta^{(n)}(x-y)$，那么主方程（master equation）就变为
\[\frac{\partial p}{\partial t} (x,t) = \int dy r(x, y) p(y, t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int dy g_n(y) \delta^{(n)}(x-y) p(y, t).\]对右边做分部积分，得到
\[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int dy \frac{d^n}{dy^n}\left[g_n(y) p(y, t) \right] \delta(x-y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{d^n}{dx^n}\left[g_n(x) p(x, t) \right].\]由于跃迁率有性质 $\int dx r(x, y) = 0$，求和的 $n=0$ 项是零，所以应从 $n=1$ 开始。这样就得到了著名的 Kramers-Moyal 展开：
\[\frac{\partial p}{\partial t} (x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{d^n}{dx^n}\left[g_n(x) p(x, t) \right].\]所以，这个量子力学课上的简单问题，在做了简单的思考之后，就得到了 Kramers-Moyal 展开，推导过程可是比教科书上的简单多了。
在往返三亚的旅途中，在回忆里消磨时光也是不错的。