我们都见过人体血管的图片。一根血管会在某些地方分出许多次级血管，就像很多树杈从一根树枝中伸展出来一样，而这些次级血管也会像之前那样，在某些地方分出更多的血管。在大自然中，这种分支（branching）结构相当常见。将营养从一个入口输送到各处的细胞，或者将废物从各个细胞收集到一个出口，都需要分支结构。

如果你仔细观察一片叶子的叶脉，会发现一种有趣的现象。主脉分出很多支脉，而这些支脉继续分叉的模式，看上去就像主脉一样。或者，西兰花的每一个小瓣都像西兰花自身。这是一种自相似（self-similar）结构，我们称之为分形（fractal）。分形是分支结构的一种有趣现象。大自然中有各种各样的分形，例如植物的根系、叶脉，哺乳动物的毛细血管、支气管等等，又或者是西兰花，甚至是海岸线。¹

G. B. West等人在1997年提出，大自然中的分形源自于能量损耗的最小化。通过进化，生物体具有了充分的灵活性（适应度），同时又尽量减少不必要的能量损耗。West以血液循环系统为例，这是一个典型的分支结构。为了便于分析，West做了适度简化，考察一个理想化的分支结构。每一根血管都在一处（而不是多处）分叉。West还给每根血管标了等级。主动脉的等级是 $0$，它在某一处突然分出 $n_0$ 个分支，这些次级血管的等级是 $1$，它们具有相同的半径 $r_1$，并且在延伸相同的距离 $l_1$ 后，突然每一根又分出 $n_1$ 个分支。以此类推。就像在一个钉耙的每个尖上都长出了一个小钉耙一样（然后小钉耙的尖上又长出更小的钉耙）。我们之所以会觉得某个分支结构是自相似的，是因为每一个小钉耙都长得差不多，只是尺寸随着分叉越来越小。准确地说，分支参数 $\rho_k := r_{k+1} / r_k$，$\lambda_k := l_{k+1} / l_k$ 以及 $n_k$ 对所有分支等级 $k$ 都是相同的。接下来，我们看看这种自相似或分形，是如何从最小化能量损耗中产生的。²

血液循环系统的能量损耗来自于血液与血管之间的摩擦。根据Hagen-Poiseuille方程，在第 $k$ 级血管中，血管两端的压力差为 $\Delta p_k = Q_k R_k$，其中 $Q_k$ 表示血流量，$R_k := (8 \mu l_k)/(\pi r_k^4)$，其中 $\mu$ 为血液的粘滞系数，是一个常数。类比于电路，$\Delta p_k$ 对应于电势差 $\Delta V$，$Q_k$ 则对应于电流 $I$。因此，$R_k$ 可以被视作电阻。在同一个分支等级，血管是“并联”的；在不同等级，血管是“串联”的。因此，总的阻尼可以写成：

\[R = \sum_{k=0}^{C} \frac{R_k}{N_k} = \frac{8\mu}{\pi} \sum_{k=0}^{C} \frac{l_k}{r_k^4 N_k},\]

其中 $N_k$ 表示等级为 $k$ 的血管个数。阻尼 $R$ 就是要被最小化的量。为了简化这个表达式，需要引入一些合理的假设。

第一个假设涉及最细的毛细血管，它们在分支结构的末端。这些“基层”血管的作用是和细胞接触，将营养渗透到细胞中去。所以它们的半径 $r_C$ 和长度 $l_C$ 仅由细胞的参数决定的，例如细胞的大小和代谢率，而与血管如何分叉无关。也就是说，$r_C$ 和 $l_C$ 是常数，它们不依赖于 $(n_0, \ldots, n_{C-1})$ 中的任意一项。另外，主动脉的数量 $N_0$ 也是常数，它等于 $1$。

第二个假设涉及血液的分流。分叉时，一个血管里的血液被分成 $n_k$ 份，相应地，血管的横截面积也应当被分成 $n_k$ 份，不多也不少。准确地说，$\pi r_k^2 \equiv n_{k} \pi r_{k+1}^2$，或者 $\rho_k = n_k^{-1/2}$，对任意 $k$ 都成立。同理，对于更一般的 $d$ 维分支结构，$\rho_k = n_k^{-1/(d-1)}$。

最后一个假设跟血管的管辖范围有关。主动脉（$k=0$）要为全身的细胞供应营养，肩负重任。次级动脉只需要负责自己的“管辖区”就可以了，例如桡动脉只负责手部细胞的营养供应。位于末端的毛细血管只负责它周围的那一小部分细胞。身体是三维的，所以 $k$ 级血管的管辖范围正比于 $l_k^3$。分叉时，管辖范围被分成 $n_k$ 份，不多也不少。也就是说，$l_k^3 \equiv n_k l_{k+1}^3$，或者 $\lambda_k = n_k^{-1/3}$，对任意 $k$ 都成立。同理，对于更一般的 $d$ 维分支结构，$\lambda_k = n_k^{-1/d}$。

基于这些假设，阻尼的表达式被简化为：

\[R = \frac{8\mu}{\pi} \frac{l_C}{r_C^4} \sum_{k=0}^{C} \left( \prod_{i=k}^{C-1} n_i^{-5/3} \right) \left( \prod_{i=0}^{k-1} n_i^{-1} \right).\]

当生物体变得很大，包含有很多的细胞时，就需要更多的分支，以使末端的毛细血管更够覆盖所有的细胞。所以，随着细胞数量的增多，每一个 $n_k$ 都相应地变大。当所有 $n_k \gg 1$ 时，求和中的 $k=C$ 这一项就会占主导，即：

\[R \approx \frac{8\mu}{\pi} \frac{l_C}{r_C^4} \left( \frac{1}{n_0} \cdots \frac{1}{n_{C-1}} \right).\]

也就是说，毛细血管贡献了大部分的阻尼。对于这个表达式，唯一值得注意的地方是，变量 $n_0, \ldots, n_{C-1}$ 具有重排对称性（permutation symmetry）：所有 $n_k$ 都具有相同的地位。这就好比一群人抬一个重物，大家按圆形对称站立，因此每个人出的力也是相同的。这意味着当 $R$ 达到极小值时，所有 $n_k$ 也都相等。因此，所有 $\rho_k$ 或 $\lambda_k$ 也都相等（它们是 $n_k$ 的函数）。这正是前面提到的分形：所有的小钉耙都长得一样，只是尺寸不同。³

当然，在 $R$ 的近似表达式中，并不只有 $k=C$ 这一项起作用。求和中的 $k=C-1, C-2$ 这些项起到修正的作用。一方面它们对 $R$ 的影响更小。另一方面，在这些项里，大部分的 $n_k$ 也是同等地位的。所以，这些修正只会轻微地改变分形解。这意味着，真正使阻尼 $R$ 最小化的分支结构，是近似分形的。

从这个例子中，我们看出，分形的出现需要以下条件：

1. 细胞的数量要大，使得 $n_k \gg 1$。
2. 这时，在能耗的表达式中只有一项占主导，它对变量 $(n_0, \ldots, n_{C-1})$ 满足重排对称性。

这意味着，对于小型生物，例如一些小型无脊椎动物，细胞数量很少，不会有分形现象。

有趣的是，自相似结构具有非常小的复杂度。基因不需要编码每一个分支的形状。它只需要编码一个，因为所有分支都是相似的。这就产生了一个有趣的事情：正是因为无处不在的分形，基因能够编码复杂的分支结构。而分形是物理定律的结果。如果物理定律不是现在这样，可能就不会有分形，因此就不会有基因，也不会有生命，更不会有一个人，在这个温暖湿润的夜晚，思考分形的由来。

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