湍流在临界状态下是尺度不变的。这意味着，如果你把湍流的图片放大很多倍，会看到它是由很多更小的湍流组成的。而这些湍流——不论是哪个尺度下的——都长得很像。可是，长得很像是什么意思？

费根鲍姆的重整化群方程（RGE）可以描述湍流在临界状态下的尺度不变性。准确地说，该 RGE 的解g的系数，确定了湍流的一些可观测量的值（例如费根鲍姆系数α）。然而，我们并不清楚g代表了什么。实际上，费根鲍姆给了一个非常复杂的定义，以及一个实在不能令人满意的推导。所以，另一个问题是，费根鲍姆的g，究竟是什么？

在场论里，人们用 RGE 计算拉格朗日量的系数如何随能标的改变而改变。可是，我想不到拉格朗日量和g有什么明确的关系。或者，RGE 是用来计算作用量的表达式如何随能标的改变而改变的。从作用量的极值可以得到经典位形。也可以通过作用量构成配分泛函，也就是位形的概率分布。所以，我们可以猜测，ｇ对应着作用量。在这种情况下，g的参数依旧是拉格朗日量的系数。

第一个问题，即两个湍流图像很像是什么意思，也暗示了这个猜测。首先我们知道，波尔兹曼机或它的深度版本（也称为 energy model）学习了数据样本的概率分布。这个概率分布的极大值表示“抽象模式”，因为它们是波尔兹曼分布对应的随机微分方程（SDE）的吸引子。波尔兹曼机是大脑的一个简化模型。大脑认为两个湍流很像，就意味着它们属于同一个吸引子的吸引域，亦即它们具有相同的“抽象模式”。如果g对应于作用量，那么它正好刻画了湍流位形的概率分布，也就是波尔兹曼机。

以上是二〇二三年秋天，站在从大连开往烟台的轮船的甲板上，在清爽的海风中，观看轮船激起的湍流时，偶得的一点念想。